น.ส.ทัก ษพ ร สมมิ ตร [16 ]
> ตรว จ ข้อมูล ความ ผิด พลาด บล็อ ค
น.ส.เ ปร ม วดี ยะ ยอ ง [ 29 ]
> ศึก ษา ข้อ ส อ บเ กี่ยว กั บ MA T H
น.ส. พช ร รัต น์ ปัญ ญา [ 30 ]
> หา บ บ ทคว าม เกี่ ยวกั บค ณิ ต ศ า สต ร์
น.ส.ปั ทม พร มูล เครื อคำ [ 31 ]
> ต กแ ต่ง จัด รู ป แบ บ กา ร นำ เสน อ Bl o g
น.ส.เ พ็ญ ผ่ อง สุข ส ม เพี ยร [ 35 ]
> รวบ ร วม + จัด เรี ยง ข้อ มูล ที่ จะเ ผยแพร่
น.ส.ว ริษ า ท วีป ระศ าสน์ [ 40 ]
> จัด ก าร ต กแต่ ง เผ ยแ พร่ ข้อ มูล ใน บ ล็อก
น.ส.วั สส วัล ย์ ส งวน พั น ธุ์ [ 42 ]
> ศึ กษ า ตั ว อย่ า ง เก มฝึ ก ฝ น ทา ง ค ณิต ฯ
ม. 4/3 ' " SA T I T C MU ^^
คู่อันดับ (ordered pairs)
คู่อันดับแต่ละคู่อันดับประกอบดับสมาชิก 2 ตัว คือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังในวงเล็บคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น
(a,b) อ่านว่า คู่อันดับเอบี
a เป็นสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อับดับ (a,b)
b เป็นสมาชิกตัวที่สองของคู่อับดับ (a,b)
กำหนด (a,b) และ (c,d) เป็นคู่อันดับ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ (a,b)= (c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian product)
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ เซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a€A และ b€B เขียนแทนด้วย AxB
AxB = {(a,b)a€A และ b€B}
AxB อ่านว่า “A ครอส B” และ “A คูณ B”
Ex กำหนด A={1,2}, B={a,b,c}
AxB= {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,b)}
BxC= {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
AxA= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
BxB= {(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}
ข้อสังเกต 1. AxB ≠BxA เมื่อ A≠B
2. จำนวนสมาชิกของ AxB เท่ากับผลคูณของจำนวนสมาชิกในเซต A และ เซต B
กล่าวคือ n(AxB) = n(A) x n(B)
3. AxB = Ø ก็ต่อเมื่อ A= Ø หรือ B= Ø
4. ถ้า AxB = AxC และ A≠ Ø แล้ว B=C
5. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B≠ Ø แล้ว AxB เป็นเซตอนันต์
ความสัมพันธ์ (relations)
ความสัมพันธ์ r จากเซต A ไปเซต B คือ เซตของคู่อันดับที่เป็นสับเซตของ AxB นั่นคือ r ( AxB
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์และ (a,b) € r
a มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย arb
a ไม่มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a/rb
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต A กล่าวว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน A
Ex กำหนด A={2,3} ,B={5,6}
AxB = {(2,5),(2,6),(3,5),(3,6)}
ให้ r แทนความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B
ดังนั้น r= {(2,6),(3,6)}
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์และฟังก์ชั่น
โดเมนของความสัมพันธ์ r จาก A ไป B คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเขียนแทนด้วย Dr
โดยที่ Dr = {x(x,y) € r}
เรนจ์ของความสัมพันธ์ r จาก A ไป B คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเขียนแทนด้วย Rr
โดยที่ Rr = {y(x,y) € r}
Ex กำหนด A={1,2,3} และ r={(x,y) ) € AxA y=2x}
จงหาโดเมน และเรนจ์ของ r
วิธีทำ จาก y=2x
เมื่อ x=1 ; y=2x1=2
x=2 ; y=2x2=4
x=3 ; y=2x3=6
เนื่องจาก 6 ไม่เป็นสมาชิกของ A
ดังนั้น r ={(1,2),(2,4)}
จะได้ Dr = {1,2}
Rr = {2,4}
1.ถ้า A = {0,1,(0,1)} และ B={1} จงหา n((A*B)-A)
2.กำหนดให้ A= {1, 2,{1,2},(1,2)} เมื่อ (1,2) หมายถึง คู่อันดับ
และ B = (A*A)-A จงหาจำนวนสมาชิกของเซต B เท่ากับเท่าใด
3.กำหนดให้ A = {3, 4, 6} B = {2, 3, 6, 8} ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ “เป็นสองเท่า” จาก B ไป A แล้วข้อใดถูก
ก.r = {(2, 4), (3, 6)}
ข.r = {(6, 3), (8, 4)}
ค.r = {(4, 2), (6, 3)}
ง.r = {(3, 6), (4, 8)}
4. กำหนด A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} จงหา
4.1จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมด
4.2จำนวนความสัมพันธ์ใน A ทั้งหมด
4.3จำนวนความสัมพันธ์จาก A * A ไป A ทั้งหมด
5. จงหา Dr
ถ้า r = {(x,y)/ y = 2x + 1}
3x – 2
6.จงหา Rr
ถ้า r = {(x,y)/y = 2x + 1}
x - 2
.
.
.
.
> เฉลย!!!
ข้อ 1 ตอบ n ( (A*B)-A) = {(1,1),((0,1),1)}
ข้อ 2 ตอบ n (B)= n[(A*A)-A] = n (A*A)-n[(A*A) A]
= n (A)*n (A)-1
= 4*4-1
= 15
ข้อ 3 ตอบ ข้อ ข.
ข้อ 4 4.1 ตอบ 2 n (A) * n (B) = 24 * 3 = 212
4.2 ตอบ 2 n (A) *n (A) = 216
4.3 ตอบ 2 n (A * A) * n(A) = 264
ข้อ 5 ตอบ วิธีทำ จากโจทย์ 3x – 2 อยู่บนเทอมของ x
แสดงว่า 3x – 2 ≠ 0
x ≠ 2
3
ดังนั้น Dr = {x/ x ≠ 2} = R- 2
3
ข้อ 6 ตอบ วิธีทำ yx – 2y = 2x + 1
yx – 2x = 2y + 1
x(y - 2) = 2y + 1
x = 2y + 1
y - 2
ซึ่ง y – 2 ≠ 0
y ≠ 2
ดังนั้น Rr = {y/ y ≠ 2} หรือ R – {2}
